Exercícios P.G. Por Adriana Lima.

1 - Numa P.G de 6 termos, a razão é 5. O produto do 1º termo com o último é 12500.
Determine o valor do 3º termo.

(Obs: Considere a P.G de termos positivos)

Resolução:

A₁.A₆ = 12500

A₁ = 12500

           A₆

A_n = A₁ . q^n-1

A₆ = 12500 . 5^6-1

           A₆

A₆.A₆ = 12500.3125

(A₆)² = 39062500

A₆ = 6250

A_n = A₁ . q^n-1

A₃ = A₁ . 5^{3 – 1}

A₃ = 12500 . 5²

         6250

A₃ = 2.25

A₃ = 50

2 - Calcular a razão de uma P.G., sabendo-se que o seu 1º termo é o dobro da razão e que a soma dos dois primeiros termos é 24.
a)4 ou -3
b)-4 ou 3
c)5 ou 3   
d)-5 ou 3 
e)N.d.a

Resolução:

Analisando os dados fornecidos:

A₁ = 2q

A₁ + A₂ = 24

Partindo do termo geral:

An = A₁.q^n-1

A₂ = 2q.q^2-1

24 – A₁ = 2q.q

24 – 2q = 2q²

-2q²-2q+24 = 0

É uma equação do 2º grau, dividindo tudo por (-2) para simplificar:

q² + q – 12 = 0

Agora fica fácil obter as raízes, vamos por soma e produto:

Soma =            +          = -1

Produto =         .           = -12

As raízes, que são os valores da razão da nossa P.G, são -4 ou 3.

Gabarito Letra: B

3 -  O terceiro termo de uma sequência geométrica é 10 e o sexto termo é 80. Então, a razão é:

a) 1            

b) -1               

c) -2           

d) 2             

e) 3

Resolução:

A_n = A₁ . q^n-1

A₆ = A₃.q³

80 = 10q³

q³ = 80

       10

q³ = 8

q³ = 2³

q = 2

Gabarito Letra: D

4 - Sabendo que a sequência a seguir é uma progressão geométrica decrescente, encontre o que se pede:

( -1, x , 4x+3 , ... , -243 )

a) a razão da P.G  

b) o número de termos da P.G 

c) a soma de todos os termos da P.G.

Resolução:

a) (-1).(4x + 3) = x²

-4x – 3 = x²

x²+4x+3 = 0

Por soma e produto:

Soma =            +          = -4

Produto =         .           = 3

As raízes serão -3 ou -1, primeiro substituimos x por -3 na sequência, em seguida por -1:

( -1, x , 4x+3 , ... , -243 )

( -1, -3 , 4(-3)+3 , ... , -243 )

( -1, -3 , -9 , ... , -243 )

Ou

( -1, x , 4x+3 , ... , -243 )

( -1, -1 , 4(-1)+3 , ... , -243 )

( -1, -1 , -1 , ... , -243 )

Percebemos que a segunda progressão é falsa, pois é constante, sempre -1, e assim não pode ser -243 seu último termo, além disso, a questão afirma que a progressão é decrescente, então, tomamos a sequência 1 como referência:

( -1, -3 , -9 , ... , -243 )

A razão será:

q = A₂

     A₁

q = -3

      -1

q = 3

b) A_n = A₁ . q^n-1

-243 = -1.3^n-1

Como a variável está no expoente, temos uma equação exponencial, devemos igualar as bases:

-243 = -1.3^n-1

3^n-1 = 243

3^n-1 = 3⁵

Se as bases estão iguais, igualamos os expoentes:

n-1 = 5

n = 5+1

n = 6

A progressão possui 6 termos.

c) Se a progressão possui 6 termos, podemos obtêlos e somar todos, se a razão é 3, basta multiplicar por esse valor e ter o termo seguinte:

( -1, -3 , -9 , -9.3, -9.3.3, -243 )

( -1, -3 , -9 , -27, -81, -243 )

A soma de todos:

Sn = -1 + (-3) + (-9) + (-81) + (-243)
Sn = -364