Postado Por: Renata Viana

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Postado Por: Tawan Lopes

questões resolvidas de p.a. 3 postagem de Gabriella Nepomuceno !

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Sequências numéricas

As sequências numéricas mais estudadas no ensino médio são as progressões aritméticas e geométricas. De fato elas são as mais importantes dentre aquelas cuja a matemática do ensino médio é capaz de modelar de forma bastante abrangente.

A aplicabilidade destes modelos (PA e PG) é vasta tanto na matemática quanto no estudo de  outras matérias como a biologia e geografia. Mas, as PAs e as PGs não são as únicas sequências numéricas cobradas pelos vestibulares.

Alguns me perguntam: quais são?

Não sei os seus nomes, nem sei se elas têm nomes como já houvi:  PAA, PAG, PGG,  PQP, etc.

O que costuma acontecer nos vestibulares, é de uma questão propor uma sequência numérica que  não seja PA nem PG, mas que obedeça uma lógica matemática que é esclarecida pelo  próprio enunciado da questão. Assim, para responder à questão, o candidato tem que assimilar o comportamento  da sequência enquanto resolve a prova.

Alguém pode perguntar qual é o próximo termo da sequência (2, 4, 8, _ ) esperando a resposta 16, mas isso pode não estar correto, pois é possível que a lei de formação da sequência seja mais complexa como an = (n – 1)(n – 2)(n – 3) + 2n e, neste caso, o número 22 seria a resposta:

a1  =  (1 – 1)(1 – 2)(1 – 3) + 21  = 0 + 2 = 2

a2  =  (2 – 1)(2 – 2)(2 – 3) + 22  = 0 + 4 = 4

a3  =  (3 – 1)(3 – 2)(3 – 3) + 23  = 0 + 8 = 8

a4  =  (4 – 1)(4 – 2)(4 – 3) + 24  = 6 + 16 = 22

      É a declaração do comportamento de uma sequência que a define, não seus primeiros termos. Exemplos:

                                   A sequência dos múltiplos positivos do número 4 é (4, 8, 12, 16, 20, 24, …)

A sequência dos sucessores dos múltiplos positivos do número 4 é (5, 9, 13, 17, 21, 25, …)

                                          A sequência das potências naturais do número 5 é (1, 5, 25, 125, 625, …)

                           A sequência dos triplos das potências naturais do número 5 é (3, 15, 75, 375, …)

A sequência dos antecessores dos triplos das potências positivas de 5 é (2, 14, 74, 374, …)

        A sequência das metades das metades das metades do número 8: (4, 2, 1, 1/2, 1/4, …)

A sequência das frações unitárias: (1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …)

    A sequência dos quadrados perfeitos: (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, …)

A sequência dos números cem unidades maiores que os cubos perfeitos: (100,101,108,127,…)

A sequência dos senos dos múltiplos positivos de 90º: (1, 0, –1, 0, 1, 0, –1, …)

A sequência de Fibonacci: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …)

A sequência dos números fatoriais: (1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, …)

A sequência dos números triangulares: (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, …)

A linha de número 6 do Triângulo de Pascal: (1, 6, 15, 20, 15, 6, 1)

A sequência decrescente dos divisores positivos do número 30: (30, 15, 10, 6, 5, 3, 1)

O ponto de abscissa 3 e ordenada –2 do plano cartesiano: (3, –2)

A origem do espaço tridimensional cartesiano: (0, 0, 0)

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.). Por Adriana Lima

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

     Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, chamadarazão.

    Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,...), q = 2.

 Cálculos do termo geral

Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro, da seguinte maneira:   

a1	a2	a3	...	a20	...	an	...
a1	a1xq	a1xq2	...	a1xq19		a1xqn-1	...

Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo termo, para qualquer progressão geométrica.

an = a1 x qn-1

  Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, então:

an = 2 x (1/2)n-1

  Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na fórmula, obtemos:

a5 = 2 x (1/2)5-1 = 2 x (1/2)4 = 1/8

      A semelhança entre as progressões aritméticas e as geométricas é aparentemente grande. Porém, encontramos a primeira diferença substancial no momento de sua definição. Enquanto as progressões aritméticas formam-se somando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas progressões geométricas os termos são gerados pela multiplicação, também repetida, por um mesmo número. As diferenças não param aí.

Observe que, quando uma progressão aritmética tem a razão positiva, isto é, r > 0, cada termo seu é maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progressão crescente. Ao contrário, se tivermos uma progressão aritmética com razão negativa, r < 0, seu comportamento será decrescente. Observe, também, a rapidez com que a progressão cresce ou diminui. Isto é conseqüência direta do valor absoluto da razão, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto, maior será a velocidade de crescimento e vice-versa.

Soma dos n primeiros termos de uma PG

    Seja a PG (a₁, a₂, a₃, a₄, ... , a_n , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos S_n, vamos considerar o que segue:

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... + a_n-1 + a_n

Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:

S_n.q = a₁ . q + a₂ .q + .... + a_n-1 . q + a_n .q

Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como:

S_n . q = a₂ + a₃ + ... + a_n + a_n . q

Observe que a₂ + a₃ + ... + an é igual a S_n - a₁ . Logo, substituindo, vem:

S_n . q = S_n - a₁ + a_n . q.

Progressão Aritimética

Exercícios P.G. Por Adriana Lima.

1 - Numa P.G de 6 termos, a razão é 5. O produto do 1º termo com o último é 12500.
Determine o valor do 3º termo.

(Obs: Considere a P.G de termos positivos)

Resolução:

A₁.A₆ = 12500

A₁ = 12500

           A₆

A_n = A₁ . q^n-1

A₆ = 12500 . 5^6-1

           A₆

A₆.A₆ = 12500.3125

(A₆)² = 39062500

A₆ = 6250

A_n = A₁ . q^n-1

A₃ = A₁ . 5^{3 – 1}

A₃ = 12500 . 5²

         6250

A₃ = 2.25

A₃ = 50

2 - Calcular a razão de uma P.G., sabendo-se que o seu 1º termo é o dobro da razão e que a soma dos dois primeiros termos é 24.
a)4 ou -3
b)-4 ou 3
c)5 ou 3   
d)-5 ou 3 
e)N.d.a

Resolução:

Analisando os dados fornecidos:

A₁ = 2q

A₁ + A₂ = 24

Partindo do termo geral:

An = A₁.q^n-1

A₂ = 2q.q^2-1

24 – A₁ = 2q.q

24 – 2q = 2q²

-2q²-2q+24 = 0

É uma equação do 2º grau, dividindo tudo por (-2) para simplificar:

q² + q – 12 = 0

Agora fica fácil obter as raízes, vamos por soma e produto:

Soma =            +          = -1

Produto =         .           = -12

As raízes, que são os valores da razão da nossa P.G, são -4 ou 3.

Gabarito Letra: B

3 -  O terceiro termo de uma sequência geométrica é 10 e o sexto termo é 80. Então, a razão é:

a) 1            

b) -1               

c) -2           

d) 2             

e) 3

Resolução:

A_n = A₁ . q^n-1

A₆ = A₃.q³

80 = 10q³

q³ = 80

       10

q³ = 8

q³ = 2³

q = 2

Gabarito Letra: D

4 - Sabendo que a sequência a seguir é uma progressão geométrica decrescente, encontre o que se pede:

( -1, x , 4x+3 , ... , -243 )

a) a razão da P.G  

b) o número de termos da P.G 

c) a soma de todos os termos da P.G.

Resolução:

a) (-1).(4x + 3) = x²

-4x – 3 = x²

x²+4x+3 = 0

Por soma e produto:

Soma =            +          = -4

Produto =         .           = 3

As raízes serão -3 ou -1, primeiro substituimos x por -3 na sequência, em seguida por -1:

( -1, x , 4x+3 , ... , -243 )

( -1, -3 , 4(-3)+3 , ... , -243 )

( -1, -3 , -9 , ... , -243 )

Ou

( -1, x , 4x+3 , ... , -243 )

( -1, -1 , 4(-1)+3 , ... , -243 )

( -1, -1 , -1 , ... , -243 )

Percebemos que a segunda progressão é falsa, pois é constante, sempre -1, e assim não pode ser -243 seu último termo, além disso, a questão afirma que a progressão é decrescente, então, tomamos a sequência 1 como referência:

( -1, -3 , -9 , ... , -243 )

A razão será:

q = A₂

     A₁

q = -3

      -1

q = 3

b) A_n = A₁ . q^n-1

-243 = -1.3^n-1

Como a variável está no expoente, temos uma equação exponencial, devemos igualar as bases:

-243 = -1.3^n-1

3^n-1 = 243

3^n-1 = 3⁵

Se as bases estão iguais, igualamos os expoentes:

n-1 = 5

n = 5+1

n = 6

A progressão possui 6 termos.

c) Se a progressão possui 6 termos, podemos obtêlos e somar todos, se a razão é 3, basta multiplicar por esse valor e ter o termo seguinte:

( -1, -3 , -9 , -9.3, -9.3.3, -243 )

( -1, -3 , -9 , -27, -81, -243 )

A soma de todos:

Sn = -1 + (-3) + (-9) + (-81) + (-243)
Sn = -364

Atividades (PG)

Questão 1 (PG):

Determine o 15° termo da PG (256,128,64,32...)

Questão 2 (PG)


 Determine o 10° termo da PG (3,6,12...)

a1 = 3
q = 2
n-1 = 10 - 1 = 9

 

a10 = a1 .  2⁹

^{a10 = 3  . 512}

^{a 10 = 1536}

Questão 3 (PG)

Determine a PG de três termos sabendo do que o produto desses termos é 8 a soma do 2° com o 3° termo é 10.

Questão 4 (PG)

Calcule a soma dos onze primeiros termos da PG (2,4,8...) 

Adriana Lima .

2 postagem de: Gabriella Nepomuceno!

1) Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 5 e a razão é 11, calcule o 13o termo:
 

Primeiro devemos coletar todas informações do problema:

   a1=5     r=11    a13=?

   Para calcular vamos utilizar a fórmula do termo geral, onde an será o a13, portanto n=13. Agora, substituindo:

   a13 = 5 + (13 - 1).11
   a13 = 5 + (12).11
   a13 = 5 + 132
   a13 = 137

2) Dados a5 = 100 e r = 10, calcule o primeiro termo:

   a5 =  a1 + (5 - 1).r
   100 = a1 + (5 - 1).10
   100 = a1 + 40
   100 - 40 = a1
   a1 = 60

 3) Sendo a7 = 21 e a9 = 27, calcule o valor da razão:

 a7 = a1 + (7 - 1).r            Substituindo pelos valores: 21 = a1 + 6r
   a9 = a1 + (9 - 1).r            Substituindo pelos valores: 27 = a1 + 8r

   Note que temos duas incógnitas (a1 e r) e duas equações, ou seja, temos um sistema de equações. Vamos isolar o a1 na primeira equação e substituir na segunda:

   a1 = 21 - 6r

   Agora, substituindo na segunda:

   27 = (21 - 6r) + 8r
   27 = 21 + 2r
   27 - 21 = 2r
   6 = 2r
   6/2 = r
   r = 3

4) (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada pelo elemento -13 é:

        (A) 8a
        (B) 7a
        (C) 6a
        (D) 5a
        (E) 4a

   Informações do problema:

   a1 = 23      r = -6      an = -13      n=?

   Substituindo na fórmula do termo geral:

   an  = a1 + (n-1)r
   -13 = 23 + (n - 1).(-6)
   -13 - 23 = -6n + 6
   -36 - 6 = -6n
   -42 = -6n      Vamos multiplicar os dois lados por (-1)
   6n = 42
   n = 42/6
   n = 7            Resposta certa: Letra "B"

5) (UCS) O valor de x para que a seqüência (2x, x+1, 3x) seja uma PA é:
 

        (A) 1/2
        (B) 2/3
        (C) 3
        (D) 1/2
        (E) 2

   a1= 2x
   a2= x+1
   a3= 3x

   Neste exercício devemos utilizar a propriedade de uma PA qualquer. Sabemos que o termo da frente é igual ao termo de trás mais a razão. Ou seja:

   a2 = a1 + r      isolando "r"      r = a2 - a1
   a3 = a2 + r      isolando "r"      r = a3 - a2

   Como temos "r" igualado nas duas equações, podes igualar uma a outra, ou seja:

   a2 - a1 = a3 - a2

   Agora, substituindo pelos valores dados no enunciado:

   (x + 1) - (2x) = (3x) - (x + 1)
   x + 1 - 2x = 3x - x - 1
   x - 2x - 3x + x= -1 - 1
   -3x = -2             Multiplicando ambos os lados por (-1)
   3x = 2
   x = 2/3             Resposta certa: Letra "B"

6) O primeiro termo de uma PA é 100 e o trigésimo é 187. Qual a soma dos trinta primeiros termos?
   Informações do problema:

   a1=100     a30=187    n=30    S30=?

   Aplicando a fórmula da soma, temos:

   S30 = (100+187).30/2
   S30 = (287) . 15
   S30 = 4305

7) Sabendo que o primeiro termo de uma PA vale 21 e a razão é 7, calcule a soma dos 12 primeiros termos desta PA:
 

   Informações do problema:
 
   a1=21     r=7    S12=?

   Colocando na fórmula da soma, vemos que está faltando um dado. Qual o valor de a12? Então antes de tudo devemos calcular o valor de a12.

   a12=a1+(12-1)7
   a12=21+77
   a12=98

   Agora sim, podemos colocar na fórmula da soma:

   S12=(a1+a12)12/2
   S12=(21+98)6
   S12=119 . 6
   S12= 714

Exercício 1: (FUVEST/01) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:

a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18

Solução:

Sejam (a₁, a₂, a₃, …) a PA de razão r e (g₁, g₂, g₃, …) a PG de razão q. Temos como condições iniciais:

(1) a₁ = g₁ = 4

(2) a₃ > 0, g₃ > 0 e a₃ = g₃

(3) a₂ = g₂ + 2

Reescrevendo (2) e (3) utilizando as fórmulas gerais dos termos de uma PA e de uma PG e (1) obtemos o seguinte sistema de equações:

(4) a₃ = a₁ + 2r e g₃ = g₁.q² => 4 + 2r = 4q²

(5) a₂ = a₁ + r e g₂ = g₁.q => 4 + r = 4q + 2

Expressando, a partir da equação (5), o valor de r em função de q e substituindo r em (4) vem:

(5) => r = 4q + 2 – 4 => r = 4q – 2

(4) => 4 + 2(4q – 2) = 4q² => 4 + 8q – 4 = 4q² => 4q² – 8q = 0

=> q(4q – 8) = 0 => q = 0 ou 4q – 8 = 0 => q = 2

Como g3 > 0, q não pode ser zero e então q = 2. Para obter r basta substituir q na equação (5):

r = 4q – 2 => r = 8 – 2 = 6

Para concluir calculamos a₃ e g₃:

a₃ = a₁ + 2r => a₃ = 4 + 12 = 16

g₃ = g₁.q² => g₃ = 4.4 = 16

Exercício 2: (ITA/2000) O valor de n que torna a seqüência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo:

a) [– 2, –1] b) [– 1, 0] c) [0, 1] d) [1, 2] e) [2, 3]

Solução:

Para que a sequência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três termos satisfaçam as igualdades (aplicação da definição de PA):

(1) -5n = 2 + 3n + r

(2) 1 – 4n = -5n + r

Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2):

(1) => r = -5n – 2 – 3n = -8n – 2

(2) => 1 – 4n = -5n – 8n – 2 => 1 – 4n = -13n – 2

=> 13n – 4n = -2 – 1 => 9n = -3 => n = -3/9 = -1/3

Ou seja, -1 < n < 0 e, portanto, a resposta correta é a b).

Adriana Lima .

Atividades sobre PA

Adriana Lima 2m08

Questão 1 (PA)

Calcular  a soma dos 80 primeiros termos da PA (6,9,12,15,18...)

Questão 2 (PA):

Calcule o número de termos da PA cujo primeiro termo é 1, o ultimo termo é 157 e a soma dos seus termos é 3160.