quinta-feira, 15 de maio de 2014
Postado Por: Renata Viana
Sequências numéricas
A aplicabilidade destes modelos (PA e PG) é vasta tanto na matemática quanto no estudo de outras matérias como a biologia e geografia. Mas, as PAs e as PGs não são as únicas sequências numéricas cobradas pelos vestibulares.
Alguns me perguntam: quais são?
Não sei os seus nomes, nem sei se elas têm nomes como já houvi: PAA, PAG, PGG, PQP, etc.
O que costuma acontecer nos vestibulares, é de uma questão propor uma sequência numérica que não seja PA nem PG, mas que obedeça uma lógica matemática que é esclarecida pelo próprio enunciado da questão. Assim, para responder à questão, o candidato tem que assimilar o comportamento da sequência enquanto resolve a prova.
Alguém pode perguntar qual é o próximo termo da sequência (2, 4, 8, _ ) esperando a resposta 16, mas isso pode não estar correto, pois é possível que a lei de formação da sequência seja mais complexa como an = (n – 1)(n – 2)(n – 3) + 2n e, neste caso, o número 22 seria a resposta:
a1 = (1 – 1)(1 – 2)(1 – 3) + 21 = 0 + 2 = 2
a2 = (2 – 1)(2 – 2)(2 – 3) + 22 = 0 + 4 = 4
a3 = (3 – 1)(3 – 2)(3 – 3) + 23 = 0 + 8 = 8
a4 = (4 – 1)(4 – 2)(4 – 3) + 24 = 6 + 16 = 22
É a declaração do comportamento de uma sequência que a define, não seus primeiros termos. Exemplos:
A sequência dos múltiplos positivos do número 4 é (4, 8, 12, 16, 20, 24, …)
A sequência dos sucessores dos múltiplos positivos do número 4 é (5, 9, 13, 17, 21, 25, …)
A sequência das potências naturais do número 5 é (1, 5, 25, 125, 625, …)
A sequência dos triplos das potências naturais do número 5 é (3, 15, 75, 375, …)
A sequência dos antecessores dos triplos das potências positivas de 5 é (2, 14, 74, 374, …)
A sequência das metades das metades das metades do número 8: (4, 2, 1, 1/2, 1/4, …)
A sequência das frações unitárias: (1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …)
A sequência dos quadrados perfeitos: (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, …)
A sequência dos números cem unidades maiores que os cubos perfeitos: (100,101,108,127,…)
A sequência dos senos dos múltiplos positivos de 90º: (1, 0, –1, 0, 1, 0, –1, …)
A sequência de Fibonacci: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …)
A sequência dos números fatoriais: (1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, …)
A sequência dos números triangulares: (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, …)
A linha de número 6 do Triângulo de Pascal: (1, 6, 15, 20, 15, 6, 1)
A sequência decrescente dos divisores positivos do número 30: (30, 15, 10, 6, 5, 3, 1)
O ponto de abscissa 3 e ordenada –2 do plano cartesiano: (3, –2)
A origem do espaço tridimensional cartesiano: (0, 0, 0)
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.). Por Adriana Lima
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, chamadarazão.
Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,...), q = 2.
Cálculos do termo geral
Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro, da seguinte maneira:
| a1 | a2 | a3 | ... | a20 | ... | an | ... |
| a1 | a1xq | a1xq2 | ... | a1xq19 | a1xqn-1 | ... |
Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo termo, para qualquer progressão geométrica.
an = a1 x qn-1
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Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, então:
an = 2 x (1/2)n-1
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Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na fórmula, obtemos:
a5 = 2 x (1/2)5-1 = 2 x (1/2)4 = 1/8
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A semelhança entre as progressões aritméticas e as geométricas é aparentemente grande. Porém, encontramos a primeira diferença substancial no momento de sua definição. Enquanto as progressões aritméticas formam-se somando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas progressões geométricas os termos são gerados pela multiplicação, também repetida, por um mesmo número. As diferenças não param aí.
Observe que, quando uma progressão aritmética tem a razão positiva, isto é, r > 0, cada termo seu é maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progressão crescente. Ao contrário, se tivermos uma progressão aritmética com razão negativa, r < 0, seu comportamento será decrescente. Observe, também, a rapidez com que a progressão cresce ou diminui. Isto é conseqüência direta do valor absoluto da razão, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto, maior será a velocidade de crescimento e vice-versa.
Soma dos n primeiros termos de uma PG
Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn, vamos considerar o que segue:
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an
Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:
Sn.q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q
Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como:
Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q
Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem:
Sn . q = Sn - a1 + an . q.
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